力扣第 509 题「 斐波那契数 」就是这个问题，请读者不要嫌弃这个例子简单，只有简单的例子才能让你把精力充分集中在算法背后的通用思想和技巧上，而不会被那些隐晦的细节问题搞的莫名其妙。想要困难的例子，接下来的动态规划系列里有的是。
1、暴力递归
斐波那契数列的数学形式就是递归的，写成代码就是这样：
int fib(int N) {
if (N == 1 || N == 2) return 1;
return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}这个不用多说了，学校老师讲递归的时候似乎都是拿这个举例。我们也知道这样写代码虽然简洁易懂，但是十分低效，低效在哪里？假设 n = 20，请画出递归树：
Tip
但凡遇到需要递归的问题，最好都画出递归树，这对你分析算法的复杂度，寻找算法低效的原因都有巨大帮助。
这个递归树怎么理解？就是说想要计算原问题 f(20)，我就得先计算出子问题 f(19) 和 f(18)，然后要计算 f(19)，我就要先算出子问题 f(18) 和 f(17)，以此类推。最后遇到 f(1) 或者 f(2) 的时候，结果已知，就能直接返回结果，递归树不再向下生长了。
递归算法的时间复杂度怎么计算？就是用子问题个数乘以解决一个子问题需要的时间。
首先计算子问题个数，即递归树中节点的总数。显然二叉树节点总数为指数级别，所以子问题个数为 O(2^n)。
然后计算解决一个子问题的时间，在本算法中，没有循环，只有 f(n - 1) + f(n - 2) 一个加法操作，时间为 O(1)。
所以，这个算法的时间复杂度为二者相乘，即 O(2^n)，指数级别，爆炸。
观察递归树，很明显发现了算法低效的原因：存在大量重复计算，比如 f(18) 被计算了两次，而且你可以看到，以 f(18) 为根的这个递归树体量巨大，多算一遍，会耗费巨大的时间。更何况，还不止 f(18) 这一个节点被重复计算，所以这个算法及其低效。
这就是动态规划问题的第一个性质：重叠子问题。下面，我们想办法解决这个问题。
2、带备忘录的递归解法
明确了问题，其实就已经把问题解决了一半。即然耗时的原因是重复计算，那么我们可以造一个「备忘录」，每次算出某个子问题的答案后别急着返回，先记到「备忘录」里再返回；每次遇到一个子问题先去「备忘录」里查一查，如果发现之前已经解决过这个问题了，直接把答案拿出来用，不要再耗时去计算了。
一般使用一个数组充当这个「备忘录」，当然你也可以使用哈希表（字典），思想都是一样的。
int fib(int N) {
// 备忘录全初始化为 0
int[] memo = new int[N + 1];
// 进行带备忘录的递归
return dp(memo, N);
}
// 带着备忘录进行递归
int dp(int[] memo, int n) {
// base case
if (n == 0 || n == 1) return n;
// 已经计算过，不用再计算了
if (memo[n] != 0) return memo[n];
memo[n] = dp(memo, n - 1) + dp(memo, n - 2);
return memo[n];
}
现在，画出递归树，你就知道「备忘录」到底做了什么。
实际上，带「备忘录」的递归算法，把一棵存在巨量冗余的递归树通过「剪枝」，改造成了一幅不存在冗余的递归图，极大减少了子问题（即递归图中节点）的个数。
递归算法的时间复杂度怎么计算？就是用子问题个数乘以解决一个子问题需要的时间。
子问题个数，即图中节点的总数，由于本算法不存在冗余计算，子问题就是 f(1), f(2), f(3) … f(20)，数量和输入规模 n = 20 成正比，所以子问题个数为 O(n)。
解决一个子问题的时间，同上，没有什么循环，时间为 O(1)。
所以，本算法的时间复杂度是 O(n)，比起暴力算法，是降维打击。
至此，带备忘录的递归解法的效率已经和迭代的动态规划解法一样了。实际上，这种解法和常见的动态规划解法已经差不多了，只不过这种解法是「自顶向下」进行「递归」求解，我们更常见的动态规划代码是「自底向上」进行「递推」求解。
啥叫「自顶向下」？注意我们刚才画的递归树（或者说图），是从上向下延伸，都是从一个规模较大的原问题比如说 f(20)，向下逐渐分解规模，直到 f(1) 和 f(2) 这两个 base case，然后逐层返回答案，这就叫「自顶向下」。
啥叫「自底向上」？反过来，我们直接从最底下、最简单、问题规模最小、已知结果的 f(1) 和 f(2)（base case）开始往上推，直到推到我们想要的答案 f(20)。这就是「递推」的思路，这也是动态规划一般都脱离了递归，而是由循环迭代完成计算的原因。
3、dp 数组的迭代（递推）解法
有了上一步「备忘录」的启发，我们可以把这个「备忘录」独立出来成为一张表，通常叫做 DP table，在这张表上完成「自底向上」的推算岂不美哉！
int fib(int N) {
if (N == 0) return 0;
int[] dp = new int[N + 1];
// base case
dp[0] = 0; dp[1] = 1;
// 状态转移
for (int i = 2; i <= N; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[N];
}画个图就很好理解了，而且你发现这个 DP table 特别像之前那个「剪枝」后的结果，只是反过来算而已：
实际上，带备忘录的递归解法中的那个「备忘录」 memo 数组，最终完成后就是这个解法中的 dp 数组，你对比一下可视化面板中两个算法执行的过程可以更直观地看出它俩的联系。
所以说自顶向下、自底向上两种解法本质其实是差不多的，大部分情况下，效率也基本相同。
这里，引出「状态转移方程」这个名词，实际上就是描述问题结构的数学形式
为啥叫「状态转移方程」？其实就是为了听起来高端。
f(n) 的函数参数会不断变化，所以你把参数 n 想做一个状态，这个状态 n 是由状态 n - 1 和状态 n - 2 转移（相加）而来，这就叫状态转移，仅此而已。
你会发现，上面的几种解法中的所有操作，例如 return f(n - 1) + f(n - 2)，dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，以及对备忘录或 DP table 的初始化操作，都是围绕这个方程式的不同表现形式。
可见列出「状态转移方程」的重要性，它是解决问题的核心，而且很容易发现，其实状态转移方程直接代表着暴力解法。
千万不要看不起暴力解，动态规划问题最困难的就是写出这个暴力解，即状态转移方程。
只要写出暴力解，优化方法无非是用备忘录或者 DP table，再无奥妙可言。
这个例子的最后，讲一个细节优化。
细心的读者会发现，根据斐波那契数列的状态转移方程，当前状态 n 只和之前的 n-1, n-2 两个状态有关，其实并不需要那么长的一个 DP table 来存储所有的状态，只要想办法存储之前的两个状态就行了。
所以，可以进一步优化，把空间复杂度降为 O(1)。这也就是我们最常见的计算斐波那契数的算法：
int fib(int n) {
if (n == 0 || n == 1) {
// base case
return n;
}
// 分别代表 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]
int dp_i_1 = 1, dp_i_2 = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
// dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
int dp_i = dp_i_1 + dp_i_2;
// 滚动更新
dp_i_2 = dp_i_1;
dp_i_1 = dp_i;
}
return dp_i_1;
}这一般是动态规划问题的最后一步优化，如果我们发现每次状态转移只需要 DP table 中的一部分，那么可以尝试缩小 DP table 的大小，只记录必要的数据，从而降低空间复杂度。
上述例子就相当于把 DP table 的大小从 n 缩小到 2。我会在后文 对动态规划发动降维打击 进一步讲解这个压缩空间复杂度的技巧，一般来说用来把一个二维的 DP table 压缩成一维，即把空间复杂度从 O(n^2) 压缩到 O(n)。
有人会问，动态规划的另一个重要特性「最优子结构」，怎么没有涉及？下面会涉及。斐波那契数列的例子严格来说不算动态规划，因为没有涉及求最值，以上旨在说明重叠子问题的消除方法，演示得到最优解法逐步求精的过程。下面，看第二个例子，凑零钱问题。