先来看看力扣第 76 题「最小覆盖子串」难度 Hard:

image.png

就是说要在 S (source) 中找到包含 T (target) 中全部字母的一个子串,且这个子串一定是所有可能子串中最短的。

如果我们使用暴力解法,代码大概是这样的:

for (int i = 0; i < s.size(); i++)
    for (int j = i + 1; j < s.size(); j++)
        if s[i:j] 包含 t 的所有字母:
            更新答案

思路很直接,但是显然,这个算法的复杂度肯定大于 O(N^2) 了,不好。

滑动窗口算法的思路是这样

1、我们在字符串 S 中使用双指针中的左右指针技巧,初始化 left = right = 0,把索引左闭右开区间 [left, right) 称为一个「窗口」。

Tip

理论上你可以设计两端都开或者两端都闭的区间,但设计为左闭右开区间是最方便处理的。因为这样初始化 left = right = 0 时区间 [0, 0) 中没有元素,但只要让 right 向右移动(扩大)一位,区间 [0, 1) 就包含一个元素 0 了。如果你设置为两端都开的区间,那么让 right 向右移动一位后开区间 (0, 1) 仍然没有元素;如果你设置为两端都闭的区间,那么初始区间 [0, 0] 就包含了一个元素。这两种情况都会给边界处理带来不必要的麻烦。

2、我们先不断地增加 right 指针扩大窗口 [left, right),直到窗口中的字符串符合要求(包含了 T 中的所有字符)。

3、此时,我们停止增加 right,转而不断增加 left 指针缩小窗口 [left, right),直到窗口中的字符串不再符合要求(不包含 T 中的所有字符了)。同时,每次增加 left,我们都要更新一轮结果。

4、重复第 2 和第 3 步,直到 right 到达字符串 S 的尽头。

这个思路其实也不难,第 2 步相当于在寻找一个「可行解」,然后第 3 步在优化这个「可行解」,最终找到最优解,也就是最短的覆盖子串。左右指针轮流前进,窗口大小增增减减,窗口不断向右滑动,这就是「滑动窗口」这个名字的来历。

下面画图理解一下,needs 和 window 相当于计数器,分别记录 T 中字符出现次数和「窗口」中的相应字符的出现次数。

初始状态:

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增加 right,直到窗口 [left, right) 包含了 T 中所有字符:

image.png

现在开始增加 left,缩小窗口 [left, right)

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直到窗口中的字符串不再符合要求,left 不再继续移动:

image.png

之后重复上述过程,先移动 right,再移动 left …… 直到 right 指针到达字符串 S 的末端,算法结束。

如果你能够理解上述过程,恭喜,你已经完全掌握了滑动窗口算法思想。现在我们来看看这个滑动窗口代码框架怎么用

首先,初始化 window 和 need 两个哈希表,记录窗口中的字符和需要凑齐的字符:

unordered_map<char, int> need, window;
For (char c : t) need[c]++;

然后,使用 left 和 right 变量初始化窗口的两端,不要忘了,区间 [left, right) 是左闭右开的,所以初始情况下窗口没有包含任何元素:

int left = 0, right = 0;
int valid = 0; 
while (right < s.size()) {
    // 开始滑动
}

其中 valid 变量表示窗口中满足 need 条件的字符个数,如果 valid 和 need.size 的大小相同,则说明窗口已满足条件,已经完全覆盖了串 T

现在开始套模板,只需要思考以下几个问题

1、什么时候应该移动 right 扩大窗口?窗口加入字符时,应该更新哪些数据?

2、什么时候窗口应该暂停扩大,开始移动 left 缩小窗口?从窗口移出字符时,应该更新哪些数据?

3、我们要的结果应该在扩大窗口时还是缩小窗口时进行更新?

如果一个字符进入窗口,应该增加 window 计数器;如果一个字符将移出窗口的时候,应该减少 window 计数器;当 valid 满足 need 时应该收缩窗口;应该在收缩窗口的时候更新最终结果。

下面是完整代码:

// 注意:java 代码由 chatGPT🤖 根据我的 cpp 代码翻译,旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性,仅供参考。如有疑惑,可以参照我写的 cpp 代码对比查看。
 
/**
 * 求字符串 s 中包含字符串 t 所有字符的最小子串
 * @param s 源字符串
 * @param t 给定字符串
 * @return 满足条件的最小子串
 */
public String minWindow(String s, String t) {
    // 用于记录需要的字符和窗口中的字符及其出现的次数
    Map<Character, Integer> need = new HashMap<>();
    Map<Character, Integer> window = new HashMap<>();
    // 统计 t 中各字符出现次数
    for (char c : t.toCharArray()) 
        need.put(c, need.getOrDefault(c, 0) + 1);
 
    int left = 0, right = 0;
    int valid = 0; // 窗口中满足需要的字符个数
    // 记录最小覆盖子串的起始索引及长度
    int start = 0, len = Integer.MAX_VALUE;
    while (right < s.length()) {
        // c 是将移入窗口的字符
        char c = s.charAt(right);
        // 扩大窗口
        right++;
        // 进行窗口内数据的一系列更新
        if (need.containsKey(c)) {
            window.put(c, window.getOrDefault(c, 0) + 1);
            if (window.get(c).equals(need.get(c)))
                valid++; // 只有当 window[c] 和 need[c] 对应的出现次数一致时,才能满足条件,valid 才能 +1
        }
 
        // 判断左侧窗口是否要收缩
        while (valid == need.size()) {
            // 更新最小覆盖子串
            if (right - left < len) {
                start = left;
                len = right - left;
            }
            // d 是将移出窗口的字符
            char d = s.charAt(left);
            // 缩小窗口
            left++;
            // 进行窗口内数据的一系列更新
            if (need.containsKey(d)) {
                if (window.get(d).equals(need.get(d)))
                    valid--; // 只有当 window[d] 内的出现次数和 need[d] 相等时,才能 -1
                window.put(d, window.get(d) - 1);
            }
        }
    }
 
    // 返回最小覆盖子串
    return len == Integer.MAX_VALUE ?
        "" : s.substring(start, start + len);
}
 

Warning

使用 Java 的读者要尤其警惕语言特性的陷阱。Java 的 Integer,String 等类型判定相等应该用 equals 方法而不能直接用等号 `== ,这是 Java 包装类的一个隐晦细节。所以在缩小窗口更新数据的时候,不能直接改写为  window.get(d) == need.get(d) ,而要用  window.get(d).equals(need.get(d)) `,之后的题目代码同理。

需要注意的是,当我们发现某个字符在 window 的数量满足了 need 的需要,就要更新 valid,表示有一个字符已经满足要求。而且,你能发现,两次对窗口内数据的更新操作是完全对称的。

当 valid == need.size() 时,说明 T 中所有字符已经被覆盖,已经得到一个可行的覆盖子串,现在应该开始收缩窗口了,以便得到「最小覆盖子串」。

移动 left 收缩窗口时,窗口内的字符都是可行解,所以应该在收缩窗口的阶段进行最小覆盖子串的更新,以便从可行解中找到长度最短的最终结果。

至此,应该可以完全理解这套框架了,滑动窗口算法又不难,就是细节问题让人烦得很。以后遇到滑动窗口算法,你就按照这框架写代码,保准没有 bug,还省事儿

最好看看作者的可视化算法,一步步跟着来

先看懂上面图片演示的大概原理,再看看作者的可视化演示

我写了首诗,把滑动窗口算法变成了默写题 | labuladong 的算法笔记